长方体和正方体的体积计算
（第51~54页）
1、教科书分析
本节教科书内容由2个例题、1个课堂活动和练习十二组成。
结合具体情境，组织学生探索并掌握长方体和正方体的体积的计算方法，是《标准》在“空间与图形”部分明确提出的又一项具体的教学目标。在学生已经了解了体积的概念和体积单位，并能用拼摆、计数的方法计量长方体或正方体体积的基础上，教科书首先通过他们已经比较熟悉的用一些1 cm3的小正方体拼摆成若干个不同的长方体，在表格中记录下所拼摆长方体的长、宽、高以及体积，学生在操作、填表、对表中数据的比较与交流中，能够发现并较充分地体会到长方体长、宽、高与体积的内在关系，抽象概括出计算长方体体积的一般方法。教科书在向学生介绍了“长方体的体积=长×宽×高”之后，又呈现了长方体、正方体的立体图形，让学生借助前面的操作，计数的模型表象、经验，从逆向的角度再次认识、理解这个计算方法，最后把长方体、正方体的体积计算方法统一起来。
接着，教科书在例2中安排了运用长方体和正方体的体积计算方法，解决电脑包装箱有多大这样的一个生活中的实际问题。在这里，不仅要求学生能用计算公式求出体积，还应让学生理解算式的意义，可以用“长、宽、高的乘积”来理解，也可以用“底面积×高”来理解。教科书在这个实际问题的解决中，给了学生较大的思考空间：只要算出其中的一个面的面积，再和垂直于这个面的那条棱相乘就是正确的。但在这里，要依据学生的实际情况来确定，注意把握基本要求，即算出一个底面的面积与高相乘。
课堂活动是让学生通过解决文具盒有多大、教室空间有多大这样的实际问题，经历解决实际问题的全过程。学生首先要将生活中的实际问题转化成求长方体体积的数学问题，再根据长方体体积的计算方法，来确定需要测量出哪些长度，并进行实际测量获得数据后，应用长方体体积的计算公式进行计算，还要结合实际情境将计算结果用合适的体积单位来表达等。与此同时，还能让学生体会、了解到我们十分熟悉的文具盒究竟有多大，我们学习的教室空间大约是多少立方米，这样有利于发展学生量的大小观念与量的估计能力。
在练习十二中，既有直接计算长方体、正方体体积的题目，如第1，2题；也注重了运用长方体、正方体体积计算方法解决实际问题的内容，如第3~5题；还设计了有利于进一步发展学生数学思维能力和空间想象能力的题目，如第6题和思考题。
2、教学建议
1本节内容建议安排2课时进行教学，完成练习十二中的习题。
2在探索长方体体积的计算方法的教学中，可以先让学生回忆：在前一个练习的习题1中，我们是用什么办法来估计一个墨水瓶盒的体积的？这样的估计准确吗？用这样摆单位体积的方法来求一本书的体积，求一个大箱子的体积，一个游泳池的容积方便吗？有了需要再引入新课。
要求学生事先准备好1 cm3的小正方体若干个，在“操作—填表—发现”的探索活动前，出示表格，并让学生明确活动的具体要求：如用怎样的材料来摆?摆成什么形状?每人摆几种?怎样填表?合作还是独立进行等。接下来，可以让学生想一想数出体积单位数量的过程，再观察比较表中的数据，你有什么发现？在这里应多给学生一些独立思考和交流讨论的时间，引导学生自己发现长方体的体积与长、宽、高之间的关系。在总结出体积计算公式后，为了让学生真正理解并记住公式的含义，可以拿出一个长方体模型，让学生说一说计算公式中各部分在模型中所表示的实际意义，即
长×宽表示模型中一层的个数，高表示模型中的层数。
3教学正方体的体积的计算时，可以启发学生根据正方体与长方体的关系，联系长方体的体积的计算公式，想一想，正方体的体积该怎样算。引导学生自己推导出正方体的体积公式。
4例2的教学，可以让学生独立解决计算电脑包装箱的实际问题。在学生完成后，应当让他们交流一下自己的算法和思路，以巩固对计算公式的基本应用。在此要注意学生中间是否有不同的思路，这时也可以看书，了解图中小女孩说：“先算出长方体一个面的面积，然后……”的意思，这时可以组织学生讨论一下对小女孩思路的理解，教师也可以以参与者的身份向学生介绍自己对这个思路的理解。教学中先将长方体和正方体的体积计算公式板书在黑板上，结合长方体模型，说明计算公式中“长×宽”实际上就是长方体的底面的面积，再结合正方体模型，也能体会到公式中的“棱长×棱长”也表示正方体的底面的面积，另一条棱长可以看作它的高。因此，长方体和正方体的体积计算公式都可以用“底面积×高”来理解。至此，再回到电脑包装箱的问题上，引导学生领会图中那个小女孩的解题思路就比较容易了。
5课堂活动是为了让学生亲身经历运用长方体、正方体体积的计算方法，解决身边的实际问题的全过程。因此，要事先准备好测量用的学生尺、米尺或软尺。在实际测量、计算之前，可以先让学生估计：文具盒有多大？教室的空间有多大？要注意明确活动要求和实施流程，也可以用小组合作的形式来完成。
6关于练习十二的教学建议。
第1题，学生独立完成以后，可以让学生说一说这些形体的长、宽、高或棱长分别是多少，再说说自己是怎么算的。
第2题，注意正方体的棱长是2 cm，不是1 cm。要注意体现算法策略的不同：可以先分别算出长、宽、高，然后用公式算体积；也可以先算出每个正方体的体积是8 cm3，再算共有多少个正方体，最后得到要求的体积。
第3题，可以让学生通过看图，了解工人们挖出的土石方的形状是若干堆不规则的立方体，怎样求这些体积的总和。进而引导学生观察、发现这些不规则的土石方的体积实际上也就是这个长方体形状游泳池坑的容积，有利于培养学生用“转化”的思想方法解决实际问题的能力。
第4题，运用公式估算物体的体积。学生在做作业时，引导他们思考，要解决这个问题，需不需要精确地算出饼干盒的体积。让学生体会到在生活中，我们其实可以通过估测物体体积来解决很多问题，而且应用是非常广泛的。同时，这个题要提示学生注意单位间的换算。
第5题，从图中可以看出，容器中3个正方体橡皮泥都被淹没在水中，因此橡皮泥与水合起来的体积是368mL，取出这3个橡皮泥后，容器中的水位一定会下降，而下降部分的体积正好是3个正方体橡皮泥的体积之和。因此，要求从杯中取出3个正方体橡皮泥后，杯中水的体积，应当用原来的杯中3个橡皮泥与水合起来的体积368 mL减去3个橡皮泥的体积的和。在这里，由于1 mL=1 cm3，则不必再专门进行单位的转换，由于液体的体积通常用L或mL做单位，所以最后结果用mL做单位。
算式是：368－4×4×4×3 = 176（mL）。
第6题，这是一个求组合物体体积的题目。解决这个问题，有多种不同的思路与方法，可以鼓励学生先独立思考，完成后再同伴交流，互相启发。
主要的思路有：
方法1：把“长城”分成上、下两部分，分开来算，再求和。
27×6×3＋(27÷9)×3×3×4
=486＋108
=594(cm3)
方法2：把“长城”分成“长”、“短”的两部分，分开来算，再求和。
(27÷9)×3×6×5＋(27÷9)×3×（6＋3）×4
=270＋324
=594(cm3)
方法3：把“长城”中一个“短”的平分成两部分，拼到其他“短”的上面，刚好就和“长”的一样长。
(27÷9)×7×3×（6＋3）＋(27÷9)×3×3
=567＋27
=594(cm3)
方法4：“长城”中每个“长”的比“短”的都多出一部分（阴影部分），两个这样多出的部分恰好能拼成一个“短”的。
(27÷9)×(9＋2)×3×6 =594(cm3)
思考题提示：
由于这个长方体木料厚2 cm，就限定了所能截出正方体的最大棱长只能是2 cm，沿这块木料的宽刚好能截成3段，沿它的长最多能截下5段符合要求。因此，这个正方体的最大体积是2×2×2=8（cm3）；最多可以截出这样的正方体5×3=15（个）。此时，不能直接用这个长方体木料的体积去除以一个小正方体的体积。
3、教学案例
长方体和正方体的体积计算（教学片断）
教学内容：
教科书第51~52页例1。
教学过程：
1回顾导入。
先复习一下体积和体积单位的有关知识，引导学生回忆长方形面积推导方法后，再进入下面的教学。
教师：（拿出一个长方体的墨水瓶盒）同学们，在前面的练习十一中，我们是用什么方法来估计它的体积的？
（用1 cm3的正方体摆成和墨水瓶盒的大小差不多的长方体，然后数出有几个1 cm3的正方体，体积大约就是几立方厘米。）
教师：这样估计的结果是墨水瓶盒准确的体积吗？如果要求一本书的体积，求一个冰箱的体积，一间教室的容积，每次都用这样摆单位体积的方法来做方便吗？看来还需要有新的计算办法来求体积才行。
2操作探究。
教师：（拿出一个1 cm3的正方体）体积为1 cm3的正方体，它的棱长是多少？
教师：用2个1 cm3的正方体拼成1个长方体，观察这个长方体,它的长、宽、高分别是多少？它的体积是多少，怎样得到的？（师板书各数据）
教师：想象一下，如果再增加1个1 cm3的正方体，长方体的长增加了，它的体积会发生什么变化？如果长方体的宽发生变化呢？如果长方体的高发生变化呢？
教师：说明长方体的体积同它的长、宽、高有密切的联系。
教师：长方体的长、宽、高与它的体积究竟有怎样的关系呢？下面请同学们用已经准备好的一些1 cm3的正方体摆成3个不同的长方体，并在表格中记录下长、宽、高以及它的体积的数据。想一想，你有什么发现？
长（cm）宽（cm）高（cm）体积（cm3）
长方体（1）
长方体（2）
长方体（3）
（1）学生独立操作：用准备的若干个1 cm3的正方体至少拼出3种不同形状的长方体，并仿照老师的板书记录相关数据。
（2）学生小组交流：汇集小组成员各自的记录，共同观察、探究长方体的体积同它的长、宽、高有怎样的关系。
（3）在全班汇报小组的发现，在几组学生的汇报之后，教师再板书：
长方体的体积=长×宽×高
（4）认识上面关系式的实际意义，加深对公式的理解。
拿出一个拼摆成的长方体，分别说一说，长表示什么？（沿长边摆的个数），宽表示什么？长×宽表示什么？（一层的个数）高呢? (层数)，长×宽×高又表示什么呢？（长方体中所含体积单位的总个数，也就是它的体积）
（5）让每个学生把自己表中的数据再算一次，进一步验证上面的关系。
3测量并运用公式计算出墨水瓶的体积（略）。
4进一步认识体积计算公式，发展能力。
教师：在“长方体的体积=长×宽×高”中，长×宽实际上求得了哪一个面的面积？(上面或下面)也就是底面的面积，这时长方体的体积又可以理解为：
长方体的体积=长×宽×高长方体的体积=底面积×高
教师：我们知道长方体和正方体有很多相似的特点，那么，正方体是否也有和长方体类似的体积公式呢？（独立思考后，再同伴交流）
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
长方体的体积=底面积×高
教师：对比上面长方体和正方体的体积公式，你能否有一个统一的认识呢？
长方体（或正方体）的体积=底面积×高
5换个视角体会体积公式，拓展认识。
教师：如果我们把体积公式写成：
长方体的体积=前面（或后面）的面积×宽
以及长方体的体积=左面（或右面）的面积×长
又可以怎样理解呢？
讨论：对长方体体积公式这样的认识，在应用中有什么实际意义？让学生理解：如果知道其中一个面的面积，以及和这个面垂直（借助手势直观）的一条棱长，就能直接求得体积，而没有必要再去找长、宽、高了。
教师：比如我现在要估计一个房间的空间大小，通常都容易知道房间地面的面积，只需要与房间的高相乘就可以了。
【简评】本段教学较好的抓住了学生的认知起点与需求，通过学生的亲手操作、亲身体验与规律的探索获得长方体的体积计算公式。教学设计注意前后照应，重点突出，环节清晰，过渡自然，思维有层次性与创造性。
引入环节，师生引用的前面学生刚做过的关于估计墨水瓶盒体积的练习，将学生的思维自然引到用单位体积拼摆求体积的方法上，并通过实际举例让学生体会到用这种方法求体积的局限性，进而产生学习新知的需求。
探究环节，通过观察2 cm3的长方体，明确长方体体积就是看长方体含有多少个体积单位。并想象，如果长、宽、高发生变化，会引起长方体体积怎样的变化，让学生初步感知长方体体积与它的长、宽、高有关，从而将研究方向定位于研究长方体体积与它的长、宽、高之间的关系上。学生最初的独立操作给了他们足够的操作、感受、体验的时间和空间，之后的小组交流、汇集小组成员各自的记录又为学生提供了充足的感知素材，以便学生从丰富的感性材料中发现长方体体积与它的长、宽、高之间的关系。
为了防止学生的认识仅仅停留在发现数据之间单纯的联系，使学生的认识上升到对数学本质的理解，发展空间观念，教师专门设计了理解长、宽、高、长×宽、长×宽×高在长方体模型中的具体含义。
运用环节，回馈前面的问题，要求墨水瓶盒的体积，需要知道长、宽、高，实际测量后，运用公式进行计算。
发展环节，在达成基本要求的基础上，又引导学生换一个角度再次理解长方体体积计算的公式，不仅加深对体积计算公式的理解，更促进了学生空间观念的发展，并对灵活运用计算公式解决问题提供了新的思路。
(四川省成都市升平街小学谢巧)
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